Para bem entendermos as diferenças, vejamos os significados de cada uma.
Vulgo é uma palavra que se refere a tudo que é popular, pertencente ao povo ou a plebe. Descreve qualquer coisa ou pessoa que seja demasiadamente comum, banal e que não se destaca. Pode ser usado com o mesmo sentido de “a grande maioria da população”, relacionado às classes mais populares da sociedade.

Alcunha: Designação, geralmente com valor depreciativo, que se utiliza em substituição do nome próprio de uma pessoa ou acrescida a este (normalmente definido a partir de uma característica particular física ou moral); cognome.
Pseudônimo: Nome fictício usado pelo autor de uma obra, literária ou não, sendo o seu nome verdadeiro ocultado.
Meu comentário (Akino): As palavras vulgo e alcunha são muito usadas na linguagem policial, para designar suspeitos, como bem notamos no sentido depreciativo. Alguns insistem em confundir pseudônimo, que é protegido por lei, pelo Código Civil, com as outras duas palavras. Prefiro acreditar que seja por ignorância e não má-fé.
Akino Maringá, colaborador